直线与圆的交点 - 练习题
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直线 \(x + 3y - 11 = 0\) 与圆 \((x + 1)^2 + (y + 6)^2 = r^2\) 在点 \((2, 3)\) 处相切。
a) 求圆的半径。
b) 证明在点 \((2, 3)\) 处的半径与直线垂直。
a) 圆心到切线的距离等于半径。使用点到直线的距离公式。
b) 切线垂直于半径。验证直线与半径的斜率乘积是否为-1。
点 \(P(1, -2)\) 在圆心为 \((4, 6)\) 的圆上。
a) 求圆的方程。
b) 求在点 \(P\) 处的切线方程。
a) 先求半径（圆心到点P的距离），然后写出圆的标准方程。
b) 切线垂直于半径。先求半径的斜率，然后求切线的斜率和方程。
点 \(A(-1, -9)\) 和 \(B(7, -5)\) 在圆 \(C\) 上，圆的方程为 \((x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 40\)。
a) 求线段 \(AB\) 的垂直平分线方程。
b) 证明线段 \(AB\) 的垂直平分线通过圆 \(C\) 的圆心。
a) 先求AB的中点和斜率，然后求垂直平分线的斜率和方程。
b) 验证圆心坐标是否满足垂直平分线方程。
点 \(P(3, 1)\) 和 \(Q(5, -3)\) 在圆 \(C\) 上，圆的方程为 \(x^2 - 4x + y^2 + 4y = 2\)。
a) 求线段 \(PQ\) 的垂直平分线方程。
b) 证明线段 \(PQ\) 的垂直平分线通过圆 \(C\) 的圆心。
a) 先求PQ的中点和斜率，然后求垂直平分线的斜率和方程。
b) 将圆的方程化为标准形式找出圆心，验证圆心是否满足垂直平分线方程。
圆 \(C\) 的方程为 \(x^2 + 18x + y^2 - 2y + 29 = 0\)。
a) 验证点 \(P(-7, -6)\) 在圆 \(C\) 上。
b) 求在点 \(P\) 处的切线方程，答案形式为 \(y = mx + b\)。
c) 求切线与 \(y\) 轴的交点 \(R\) 的坐标。
d) 求三角形 \(APR\) 的面积，其中 \(A\) 为圆心。
a) 将点P的坐标代入圆的方程验证。
b) 先求圆心和半径，然后求切线的斜率和方程。
c) 令切线方程中的 \(x = 0\) 求y坐标。
d) 使用三角形面积公式，需要三个顶点的坐标。
a) 圆心为 \((-1, -6)\)，直线方程为 \(x + 3y - 11 = 0\)。
使用点到直线的距离公式：
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|1(-1) + 3(-6) - 11|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{|-1 - 18 - 11|}{\sqrt{10}} = \frac{30}{\sqrt{10}} = 3\sqrt{10}\)
所以半径 \(r = 3\sqrt{10}\)。
b) 圆心到切点的半径斜率为：\(m_{半径} = \frac{3 - (-6)}{2 - (-1)} = \frac{9}{3} = 3\)
直线的斜率为：\(m_{直线} = -\frac{1}{3}\)
因为 \(m_{半径} \times m_{直线} = 3 \times (-\frac{1}{3}) = -1\)，所以半径与直线垂直。
利用圆的性质：切线垂直于半径，以及点到直线的距离公式。
a) 半径 \(r = \sqrt{(1-4)^2 + (-2-6)^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73}\)
圆的方程：\((x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 73\)
b) 半径的斜率：\(m_{半径} = \frac{-2 - 6}{1 - 4} = \frac{-8}{-3} = \frac{8}{3}\)
切线的斜率：\(m_{切线} = -\frac{3}{8}\)
切线方程：\(y - (-2) = -\frac{3}{8}(x - 1)\)
化简得：\(y = -\frac{3}{8}x - \frac{13}{8}\)
先求半径，然后利用切线垂直于半径的性质求切线方程。
a) AB的中点：\((\frac{-1+7}{2}, \frac{-9+(-5)}{2}) = (3, -7)\)
AB的斜率：\(m_{AB} = \frac{-5 - (-9)}{7 - (-1)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)
垂直平分线的斜率：\(m = -2\)
垂直平分线方程：\(y - (-7) = -2(x - 3)\)
化简得：\(y = -2x - 1\)
b) 圆心为 \((1, -3)\)，代入垂直平分线方程：
\(-3 = -2(1) - 1 = -2 - 1 = -3\) ✓
所以垂直平分线通过圆心。
利用垂直平分线的性质：垂直于弦且通过弦的中点。
先将圆的方程化为标准形式：
\(x^2 - 4x + y^2 + 4y = 2\)
\((x - 2)^2 - 4 + (y + 2)^2 - 4 = 2\)
\((x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 10\)
圆心为 \((2, -2)\)。
a) PQ的中点：\((\frac{3+5}{2}, \frac{1+(-3)}{2}) = (4, -1)\)
PQ的斜率：\(m_{PQ} = \frac{-3 - 1}{5 - 3} = \frac{-4}{2} = -2\)
垂直平分线的斜率：\(m = \frac{1}{2}\)
垂直平分线方程：\(y - (-1) = \frac{1}{2}(x - 4)\)
化简得：\(y = \frac{1}{2}x - 3\)
b) 圆心 \((2, -2)\) 代入垂直平分线方程：
\(-2 = \frac{1}{2}(2) - 3 = 1 - 3 = -2\) ✓
所以垂直平分线通过圆心。
先将圆的方程化为标准形式找出圆心，然后利用垂直平分线的性质。
先将圆的方程化为标准形式：
\(x^2 + 18x + y^2 - 2y + 29 = 0\)
\((x + 9)^2 - 81 + (y - 1)^2 - 1 + 29 = 0\)
\((x + 9)^2 + (y - 1)^2 = 53\)
圆心为 \((-9, 1)\)，半径为 \(\sqrt{53}\)。
a) 将点 \(P(-7, -6)\) 代入圆的方程：
\((-7 + 9)^2 + (-6 - 1)^2 = 2^2 + (-7)^2 = 4 + 49 = 53\) ✓
所以点P在圆上。
b) 半径的斜率：\(m_{半径} = \frac{-6 - 1}{-7 - (-9)} = \frac{-7}{2}\)
切线的斜率：\(m_{切线} = \frac{2}{7}\)
切线方程：\(y - (-6) = \frac{2}{7}(x - (-7))\)
化简得：\(y = \frac{2}{7}x - 4\)
c) 令 \(x = 0\)：\(y = -4\)，所以 \(R(0, -4)\)。
d) 三角形顶点：\(A(-9, 1)\)，\(P(-7, -6)\)，\(R(0, -4)\)。
使用面积公式计算得：面积为 \(\frac{49}{2}\)。
综合应用圆的方程、切线性质和三角形面积计算。